A Seqüência de

Wurm & Outras

A SEQÜÊNCIA DE WURM

A boa aproximação entre os termos da seqüência de Titius-Bode (STB) e os valores determinados das distâncias planetárias estimulou vários astrônomos a tentar aperfeiçoá-la, melhorando o seu grau de aproximação. Nessa linha, o astrônomo alemão Wurm substituiu os números da STB por outros. Partindo, também, da seqüência

0,	1,	2,	4,	8,	16,	32	e	64

multiplicando cada termo por 293 e somando ao resultado 387:

Dividindo cada termo por 970, obteve, para as distâncias planetárias:

A SEQÜÊNCIA DE REYNAUD

Outra representação bastante simples para as distâncias planetárias foi obtida por P. Reynaud por um caminho diverso dos astrônomos anteriores. Reynaud considerou o Sistema Solar dividido em dois grupos de planetas separados pelo cinturão principal de asteróides. As distâncias, no primeiro grupo ( planetas internos ) são obtidas a partir da seqüência:

que, a partir do segundo termo é uma progressão aritmética (PA) de razão 2. Multiplicando-se cada termo por 0,17, tem-se

ficando o primeiro termo sem correspondência com algum astro. Para o segundo grupo ( planetas externos ) as distâncias são obtidas multiplicando-se os valores anteriores por 30:

É interessante notar que quando Reynaud divulgou estes resultados, o planeta Plutão ainda não havia sido descoberto. Apesar da seqüência apresentar um vazio ( 0,17 ) e não conter um termo para a distância dos asteróides, mostra-se com bom acordo em relação aos valores medidos das distâncias. O valor de 0,17 pode ser considerado como uma constante do esquema de obtenção dos demais valores sem ter, necessariamente, que representar a distância de algum planeta ao Sol.

Por coincidência, o referido valor está muito próximo do valor deduzido pelo astrônomo francês U.J.J. Leverrier, em 1859, para a distância do hipotético planeta Vulcano ao Sol, que era de 0,1427 Unidades Astronômicas. A existência de tal planeta foi por ele admitida para explicar o avanço pronunciado do periélio do planeta Mercúrio, uma vez que a aplicação da Mecânica Newtoniana não permitia explicar completamente o valor observado desse avanço.

A SEQÜÊNCIA DE ARMELLINI

Em 1922, o astrônomo italiano Giuseppe Armellini ( 1887-1958 ) divulgou uma outra seqüência numérica para expressar as distâncias planetárias baseando-se, também, numa progressão geométrica cuja razão é 1,53:

que correspondem aos valores aproximados de:

Nem todos, dos doze termos, correspondiam aos planetas. O planeta Plutão, correspondente ao valor 1,53⁹ = 45,94 ainda não havia sido descoberto. Aos termos 1,53² = 2,34 e 1,53³ = 3,58 se fez corresponder respectivamente aos asteróides 4.Vesta e 107.Camilla. Restou a lacuna 1,53⁶ = 12,83 entre os planetas Saturno e Urano que somente foi preenchida em 1977, quando Charles Kowall descobriu 2060.Chiron = 95P/Chiron, um objeto do tipo centauro, que se encontra a 13,87 A do Sol. Os centaurus são corpos do Sistema Solar que apresentam características asteroidais e cometárias simultaneamente e serão objeto de um texto da série Astronomia & Astrofísica, em breve.

Os termos da seqüência de Armellini podem ser representados por 1,53^n-3 onde n é um número natural compreendido entre 1 e 12. As distâncias dos planetas e asteróides passam a ser representadas por:

AJUSTE ESTATÍSTICO DE DAMIANI

Por fim, citaremos o ajuste feito pelo estatístico francês Damiani que conseguiu representar as distâncias planetárias por meio de um expressão matemática envolvendo funções transcendentes, como a exponencial de base e = 2,71828... e os senos de dois ângulos:

Nessa expressão, a_n é a distância de um planeta ao Sol, k, A, B, p, q são constantes cujos valores estão indicados abaixo e n é um número natural que assume valores entre 2 e 11 para os planetas e para o cinturão dos asteróides ( veja na tabela ).

Para efeito de comparação, na tabela abaixo estão relacionadas as distâncias medidas dos planetas ao Sol e os valores obtidos pelos processos acima descritos:

REFERÊNCIAS:

1. BERRY, A. - A Short History of Astronomy - Dover Publ. Inc. 1961

2. DREYER, J.L.E. - A History of Astronomy from Thales to Kepler - Dover Pub. In. 1953

3. GROSSER, M. - The Discovery of Neptune - Dover Publ. Inc. 1979

4. ORSINI, A. - A Regra de Bode - Planetário e Esc. Mun de Astrofisica S. Paulo - 1971

5. ARAGO, F. - Astronomie Populaire - Tomo IV - Gide Editeur & T.O.Weigel - 1857

6. COMAS-SOLÁ, J. - Astronomía - Ed. Ramón Sopena - Barcelona - 1973

7. MULLER, A. - Elementi di Astronomia - Desdée, Levebvre e C. Edit. Roma - 1904

8. VARELLA, I.G. (ed) - Efemérides Astronômicas para 1987 - PMSP/SSO/DEPAVE-1987

9. VARELLA, I.G. - A Seqüência de Titius-Bode e Outras Seqüências - Planet. SP - 1991

* Irineu Gomes Varella

Astrônomo. Diretor do Planetário e Escola Municipal de Astrofísica de São Paulo, no período de 1980 a 2002.

Priscila D. C. F. de Oliveira

Coordenadora do Centro de Documentação Técnica e Científica em Astronomia do Planetário e E. M. de Astrofísica de S Paulo.